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un movimiento armónico simple tiene la amplitud 8 cm y un período de 4 s calcular la velocidad y la aceleración porfavor es para mañana bien explicado ​

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124 cents Kotova
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Una part´ıcula que vibra a lo largo de un segmento de 10 cm de longitud tiene en el

instante inicial su m´axima velocidad que es de 20 cm/s. Determina las constantes del mo-

vimiento (amplitud, fase inicial, pulsaci´on, frecuencia y periodo) y escribe las expresiones

de la elongaci´on, velocidad y aceleraci´on. Calcula la elongaci´on, velocidad y aceleraci´on

en el instante t = 1,75 π s. ¿Cu´al es la diferencia de fase entre este instante y el instante

inicial?

Soluci´on 2

La amplitud es igual a la mitad del segmento recorrido: A = 5·10−2 m. Las expresiones

generales de la elongaci´on y de la velocidad son:

x = A · sin(ω · t + ϕ0); v =

dx

dt

= A · ω · cos(ω · t + ϕ0)

Como en el instante inicial la velocidad es m´axima, se tiene que la fase inicial es:

cos(ω · 0 + ϕ0) = 1 ⇒ ϕ0 = 0 rad

Del valor de la m´axima velocidad se deducen el resto de las constantes del movimiento.

vma´xima = A · ω = 0,20 m/s ⇒ ω =

vma´x

A

=

0,20

0,05

= 4 rad/s

ν =

ω

=

4

=

2

π

Hz; T =

1

ν

=

π

2

s

Las expresiones de la elongaci´on, velocidad y aceleraci´on y sus valores en el instante

indicado, t = 1,75 · π s, son:

x = A · sin(ω · t + ϕ0) = 0,05 · sin(4 · t) ⇒ xt = 0,05 · sin(4 · 1,75 · π) = 0 m

v =

dx

dt

= 0,2 · cos(4 · t) ⇒ vt = 0,2 · cos(4 · 1,75 · π) = −0,2 m/s

a =

dv

dt

= −0,8 · sin(4 · t) ⇒ at = −0,8 · sin(4 · 1,75 · π) = 0 m/s2

La diferencia de fase entre el instante inicial y el t = 1,75 · π s es:

∆ϕ = ϕt − ϕ0 = ω · 1,75 · π − 0 = 4 · 1,75 · π = 7 · π rad = (3 · 2 · π + π) rad

Las expresiones generales de la elongaci´on y de la velocidad son:

x = A sin(ωt + ϕ0)

v = Aω cos(ωt + ϕ0)

Multiplicando la primera expresi´on por ω y elevando al cuadrado ambas expresiones se

tiene:

x

2 = A

2

sin2

(ωt + ϕ0)

v

2 = A

2

cos2

(ωt + ϕ0)

Sumando y operando:

x

2 + v

2 = A

2

v

2 = ω

2

(A

2 − x

2

) ⇒ v = ± ω

q

(A2 − x

2

)

El signo doble se debe a que la trayectoria se puede recorrer en ambos sentidos en una

misma posici´on.

Ejercicio 4

Un resorte se alarga 4 cm cuando se cuelga de ´el un objeto de 20 kg de masa. A

continuaci´on, se estira el resorte 3 cm m´as y se le deja que oscile libremente. Determina

el periodo y la pulsaci´on del movimiento. Calcula los valores de la elongaci´on, velocidad,

aceleraci´on y dureza el´astica a los 2,1 s de iniciado el movimiento. ¿Cu´al es la diferencia

de fase entre este instante y el instante inicial?

Soluci´on 4

Aplicando la ley de Hooke:

k =

F

y

=

m g

y

=

20 · 9,8

0,04

= 4900 N/m

El periodo del movimiento y la pulsaci´on son:

T = 2 π

rm

k

= 2 π

s

20

4900

= 0,4 s ⇒ ω =

2 π

T

=

2 π

0,4

= 5 π rad/s

El movimiento comienza en el punto m´as bajo de la vibraci´on, por ello si para su

descripci´on se utiliza la funci´on sin ϕ, entonces la fase inicial es ϕ0 = 3 π/2 rad.

Las expresiones de la elongaci´on, velocidad, aceleraci´on y fuerza el´astica y sus valores

a los 2,1 s de iniciado el movimiento son:

y = 0,03 sin(5 π t + 3 π/2) ⇒ y2,1 = 0,03 sin(5 π · 2,1 + 3 π/2) = 0 m

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Kotova
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